北京小学奥数：关于极端构造问题的奥数题---真题及解析

今天的目标是解如下奥数题，所用知识不超过小学五年级。

题目（难度五星）：

一次考试共5道题，做对第1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的92%,86%,61%,87%,57%。如果做对3道题或3道以上为及格，请问这次考试的及格率至少是多少？

答案：65%。

辅导办法:

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

题目中含有“至少，最多”等类似词语的，

称为极端构造问题，

这种问题的解法就是构造极端条件，

在此条件下求答案。

注意到考试及格率最少，

就是要使得不及格率最多。

需思考以下几个问题：

一是不及格率最多时的极端情况是什么？

二是这种极端情况能否实现？

步骤1：

先思考第一个问题。

为方便计，

不妨设共100人考试，

则这5道题的错误人数分别是8、14、39、13、43。

不及格率要最高，

就是要使得尽量多的人做错3道及以上题，

在错题总数一定的情况下。

极端条件就是所有不及格的人都只做错3道题。

步骤2：

再思考第二个问题。

错题的总数是117=8+14+39+13+43，

按照步骤1的极端条件，

117/3=39，

应有39个人做错3道题。

但由于8+13+14=35<39<43,

故不管怎么组合，

也最多只有35个人做错3道（及以上），

因此，不及格率最多35%，

所以，及格率至少65%。

思考题：

一次考试共5道题，做对第1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的80%,95%,85%,79%,74%。如果做对3道题或3道以上为及格，请问这次考试的及格率至少是多少？