北京小学奥数：关于余数问题的奥数题杯赛真题及解答

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下关于余数问题的奥数题，所用知识不超过小学6年级。

题目（难度：五星）

有2017个都大于3的不同质数，它们的平方和除以3以后余数是多少？

答案：1。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

不要迷惑于2017个数，

要针对单个大于3的质数思考。

需考虑以下几个问题：

一是任意一个大于3的质数,其平方除以3以后的余数是多少？

二是任意2017个大于3的不同质数，其平方和除以3以后的余数是多少？

步骤1：

先思考第一个问题，

假设m是一个大于3的质数，

则m除以3的余数要么是1要么是2，

故m可写为3k+1或3k+2的形式，

分别讨论：

(1)若 m=3k+1，

有(3k+1)^2=9K^2+6k+1,

则m^2除以3的余数是1；

(2)若 m=3k+2，

有(3k+1)^2=9K^2+6k+4,

则m^2除以3的余数也是1。

因此，任意一个大于3的质数,

其平方除以3以后的余数是1。

步骤2：

再思考第二个问题，

在第一个问题的基础上考虑，

这2017个数中，

每一个的平方除以3的余数都是1，

则2017个数的平方和除以3的余数，

与2017除以3的余数相同，

而2017=3*672+1

所以，结果是1。

思考题：

有2017个不同质数，它们的平方和除以3以后余数可能是2么?