北京小学奥数：关于极端构造问题的奥数题

数学中的最值问题，在公务员考试中又称为极端构造问题，该类问题的主要特征是题目的问题中出现“最少、最多、至少”等字样。这类问题的解法就是构造最极端的情况，因此被称为极端构造。近几年的公务员考试中，这种类型的题目屡见不鲜，在奥数竞赛中也常常出现。

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下关于最值问题的奥数题，所用知识不超过小学5年级。

题目（难度：五星）

有15名学生参加考试，满分100分，60分及格，所有成绩都是整数。成绩出来后，这15名学生都及格了，且其中只有2名学生成绩相同，其余所有学生成绩都不同。已知第10名是70分，这10名同学的总成绩是1087分。请问第5名的成绩最高是多少？

答案：82。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

需考虑以下几个问题：

一是要使第5名成绩最高，极端的情况是什么？

二是极端时，分数相同的是名次是多少？

三是极端时，第11-15名的5个人成绩是多少？

四是极端时，第6-9名的4个人成绩是多少？

五是极端时，第1-4名的成绩和第5名是什么关系？

步骤1：

先思考第一个问题，

极端情况下，

就是其他人的成绩都尽量低，

这样第5名才能尽量高。

步骤2：

再思考第二个问题，

要使其他人成绩尽量低，

那分数相同的最好是最后2名，

分数最低是60分。

步骤3：

再思考第三个问题，

极端情况下，

第11-15名的成绩要尽量低，

就是63、62、61、60、60。

步骤4：

再思考第四个问题，

极端情况下，

第6-9名成绩要尽量低，

但比第10名要高，

由于第10名是70分，

故第6-9名成绩为：74、73、72、71。

步骤5：

再思考第5个问题，

极端情况下，

既要使第5名成绩尽量高，

又要使1-4名成绩尽量低，

就是要使这5个人差距尽量小。

步骤6：

综合上述几个问题，

现在第6-15名的成绩已经构造出来了，

即：74、73、72、71、70、63、62、61、60、60，

其和是666。

故1-5名的成绩最高是1087-666=421，

平均分是84.2=421/5，

在5个数差距最小的情况下，

极端情况是这5个数是连续的整数，

但5个连续整数的平均数就是中间的数，

一定是整数，不可能是84.2。

注意到5*84=420，

此时只需要某个数再多1就可以了，

只能是最大的数多1。

故1-5名的成绩是87、85、84、83、82，

所以第5名最高是82分。

思考题：

原题目中其它条件不变，请问第1名最高多少分？