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第 527 期回顾

己知两个自然数的差为 4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252,求这两个自然数.

解:设这两个自然数分别为a与b,且a>b,

a=da1,

b=db1,

(a1,b1)=1.

因为a-b=4,

所以da1-db1=4,

于是有d×(a1-b1)=4,

因此d为4的约数.因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252,

所以d×da1b1=252,

于是有d²a1b1=(2×3)²×7,

因此d为2×3的约数.故d为4与2×3的公约数.

由于(4,2×3)=2,

2的约数有1和2两个,所以d可能取1、2这两个值.

如果d=1,

由d×(a1-b1)=4,

有a1-b1=4

又由d²×a1b1=252,

有a1b1=252.

252表示成两个互质数的乘积有4种形式:

252=1×252

=4×63

=7×36

=9×28,

但是252-1=251≠4,

63-4=59≠4,

28-7=19≠4,

28-9=19≠4,

所以d≠1;

如果d=2,

由d×(a1-b1)=4,

有a1-b1=2,

又由d²×a1b1=252,

有a1b1=63,

63表示为两个互质数的乘积有两种形式:

63=1×63=7×9,

但63-1=62≠2,

而9-7=2,

且(9,7)=1,

所以d=2,

并且a1=9,

b1=7.

因此a=2×9=18,

b=2×7=14.

这两个数为18和14.

第 528 期题目

小明骑车上学,原计划每分钟行 200 米,正好准时到达学校,有天因下雨,他每分钟只能行 120 米,结果迟到了 5 分钟.他家离学校有多远?

完

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