小学数学最重要的能力如何培养？

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很多时候，当孩子碰到一道没有做过的数学题时，不会立刻就想到解法。那么，遇到未知问题时，该如何解决呢？

小学阶段，抽象能力（包括从物体到数的抽象和从数到符号的抽象）以及类比与归纳推理能力是要着重培养的能力。关于这一点，可参考我之前的文章《深度好文：小学数学应该学什么，怎么学？》。

有些人喜欢夸夸其谈地讲大道理，但就数学而言，缺乏具体案例来讲道理难免会让大道理成为无源之水。我更喜欢把道理融入到具体的案例中。下面就通过一个例子及其拓展来展示如何发展这些能力。

下面这道题是我做过的经典问题之一：

n条直线最多把平面分成多少部分？

如果没有做过这个问题，那绝大部分人的第一反应会是从最简单的开始尝试。这就非常好。探索和尝试本来就是最可贵的解题品质。

观察上面的规律，1，2，4，7，11，后面一个应该是16。

大部分学生到这里都可以总结出具体的结论，如：第10条直线在第9条直线的基础上可以多分出10块，第100条直线可以在第99条直线的基础上多分出100块。

我们的工作是要引导孩子撇开具体的数，进而完成从10或100这些具体的数到符号n的抽象，这也是是小学阶段要培养的主要能力之一。

一般化地，n条直线最多把平面分成的块数为n-1条直线最多把平面分成的块数加n。

有了上面的结论，可以进一步推导出n条直线共把平面分为：

验算一下：当n=1,2,3时，分别为2，4，7，满足。

（注：在刚开始尝试符号抽象的时候，孩子经常会犯一些错误，这时候用具体值代入验算能确保及早发现并纠正错误。）

解题到这当然不算结束，核心问题还没有解决。

我们刚才的归纳只是一种猜测。归纳有可能正确，有可能错误。为此，我们还需要证明刚才归纳的正确性。为什么n条直线最多分的块数是在n-1条直线最多分的块数基础上加n呢？这就涉及到“直线-交点-线段-平面”之间的关系。

我们知道，如果一条直线上有n个点，那么这些点将把这条直线分成n+1段。

原来有n-1条直线，加上第n条直线后，这第n条直线最多与之前的n-1条直线有n-1个交点，这些交点将把第n条直线分成n段。而每一段都将把原来的一个区域一分为二，因此多出了n块。下图给出了n=3的示意图。

如果是应试，这个问题就结束了。但如果是平时，我们还得多想一点。如果不是直线，而是封闭的圆形，那么会如何？这就是常说的举一反三能力。比如下面的问题：

n个圆，最多把平面分成多少部分？

同样，我们可以从小规模开始尝试并归纳。

很多人据此就开始归纳：每多一个圆，最多将平面分成的块数将比之前翻倍。

但如果继续画4个圆，就发现怎么都分不出16块。4个圆，我们只能最多分出如下图所示的14个区域。所以，归纳是经验的总结，但有的时候并不一定正确。为了获得正确的归纳，我们不要吝啬自己的劳动，要有尽可能多的样本才行。

因此，我们得到了1，2，4，8，14这个序列。猜测一下，后面应该是22才对。

推理的过程，则可以类比直线分平面的做法。如果在n-1个圆的基础上增加一个圆，那这个圆最多与前面的n-1个圆有2(n-1)个交点（如上图所示，第4个红色圆加上去后，最多与前面的3个圆都相交，一共有6个红色的交点），这2(n-1)个交点把第n个圆分成2(n-1)段（注：封闭图形），每一段都把原来的一块一分为二，因此最多多分出2(n-1)块。

据此，n个圆最多将平面分成: 

1+1+2+4+…+2(n-1)=2+n(n-1) (n≥1)

所以，这类问题的关键是看有几个交点。继续拓展一下，如果把圆换成三角形，又如何呢？

n个三角形最多把平面分成多少个部分？

有了前面直线分平面和圆分平面的做法，我们可以进行类比，考虑下面的问题：两个三角形最多有多少个交点？答案是6个。

一般化地，如果是在n-1个三角形的基础上再增加1个三角形，那这个三角形和之前的n-1个三角形最多可以有6(n-1)个交点，可以把第n个三角形分成6(n-1)段，因此多分出6(n-1)块。

当然，还可以对上面的图形进行组合，生成更复杂的问题，比如：

1个三角形，3个圆最多可以把平面分成多少部分？

这个问题，如果试图去画图，会比较吃力，很少有人能在没有理论指导的前提下画正确。尝试一下就知道，要让三角形与每个圆都有6个交点，这并不容易。

但这并不妨碍我们进行理论分析。理论上，先画3个圆，最多把平面分成8部分，然后再加1个三角形，这个三角形与每个圆最多有6个交点，总共最多有18个交点，这些交点将把这个三角形分成18段，因此多分出18块，总共8+18=26块。具体如下图。

上面这个过程也给我们提出了一个新问题：理论和试验操作，你该相信哪个？

当我们还没有一个正确的理论作为支撑时，应该用尽可能多的试验来归纳总结出更具普适意义的理论。而当我们证明了某个理论的正确性后，就应该用普适的理论来指导具体的试验操作。

更复杂一点的问题，可以把直线、圆和三角形混合起来，比如这样的问题：

在一个无限大、无边界的平面上画1条直线，可以把平面分成2部分；在平面上画1个三角形，也可以把平面分成2部分。那么，在平面上画1个三角形、2个圆和2条直线，最多可以将平面分成几部分？

我们还是按照老思路。

第一步：2个圆把平面分成4块。

第二步：加1个三角形，与前面两个圆最多有12个交点，这12个交点将把三角形分成12段，因此多分出12块，最多分成16块。

第三步：再加1条直线，与两个圆和一个三角形可以最多分别有2个交点，共6个交点，这6个交点将这条直线分为7段，因此可以多分出7块，因此最多分成16+7=23块。

第四步：最后再加1条直线，与两个圆和一个三角形可以最多分别有2个交点，与之前的直线最多有1个交点，最多共7个交点，这7个交点将这条直线分成8段，因此可以多分出8块，最多分成23+8=31块。

当然，我们也可以从直线开始：

第一步：2条直线最多把平面分成4部分。

第二步：加1个圆，与两条直线最多有4个交点，这4个交点将圆分成4段，多分出4块，因此最多分成4+4=8块。

第三步：再加1个圆，与两个直线最多有4个交点，与前一个圆最多有2个交点，因此最多有6个交点，这6个交点将圆分成6段，从而可以多分出6块，因此最多分成8+6=14块。

第四步：再加1个三角形，与前面的两个圆最多有12个交点，与两条直线最多有4个交点，一共最多有16个交点，这16个交点把三角形分成16段，多分出16块，因此最多分成14+16=30.

咦，两种做法，一个最多分成31块，一个最多分成30块，怎么结果不一样呢？为什么顺序不一样，结果竟然不同呢?

同一个问题当然不可能出现两个不同的结果，必有一个的分析出了问题！

问题其实出在这里。如果我们先放圆，这时把平面分成了2部分，再加1条直线，虽然2个交点把直线分成了3段，但圆外的两段并没有多分出两块，而是只分出1块！如下图所示。

而如果像下图这样一端不出去，那么实际上左边的这段开口红色线段并没有把外部的区域一分为二。这实际上是拓扑的特点。

反过来，如果先放一条直线把平面分成2部分，再放上一个圆，那么圆被分成2段，每一段都把原来的区域一分为二了。

因此，上述问题的正确答案应该是30，而不是31。

有了这些以后，如果把这个问题二维拓展到三维，即从平面拓展到空间呢？（注：这个问题对小学有点超纲，更适合中学生）

n个平面最多把空间分成多少部分？

这个问题，我们也可以从头开始尝试。

如果就此归纳出4个平面最多可以把空间分成16部分，那就又错了。有孩子用豆腐或橡皮泥切了半天，发现怎么切都切不成16块，最多只能切15块。

那怎么思考这个问题呢？如果我们从点分直线成线段、线段分平面成区域这一思想衍生过来，那我们就会发现这个平面分空间问题的求解思路也可以类比直线分平面的做法。

在直线分平面的问题中，我们通过多出的线段来分析增加一条直线后多分出的平面数；那在平面分空间的问题中，我们是不是也可以通过多出的平面来分析增加一个平面后多分出的空间数呢？

在3个平面的基础上增加1个平面，那么前面3个平面最多和这个平面有3条交线，这三条交线将把这第4个平面最多分成7部分（由直线分平面的结论得到），每一个部分将把原来所在的空间一分为二，因此在8块的基础上多分出了7块，也就是说4个平面最多把空间分为8+7=15部分。

当然，抽象能力、类比和归纳推理的能力的培养，肯定不是一蹴而就的，需要长期把上面这种方法融入到实践中，更需要给孩子足够的时间去思考和拓展一个问题。

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