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中考：最短路径A

最值问题

一定条件下

平面图形中

某个确定的量

线段长度

角度大小

图形面积等

最大最小值

基本方法有

特殊位置法

极端位置法

几何定理法

数形结合法

一定直线,同侧两点

1

如图,⊙O的半径为1,点A是半圆 (弧MAN)上的一个三等分点,点B是弧AN的中点,P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值______.

答案√2.

解析：作点A关于MN的对称的点A′,连接A′B,

交MN的点P就是我们要找的点.

易得PA+PB的最小值为A′B的长.

连接OA′,AA′

点B是弧AN的中点可得

∠BON=30°,∠A′OB=90°.

在等腰直角三角形A′OB中,

OA′=OB=1,从而求得.

2

抛物线y=x²+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点.若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为____.  

答案3√2/2

解析：如果D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,

则DE,DF是三角形PBC的中位线,

DE=PC/2,DF=PB/2,

则DE+DF=(PC+PB)/2,

故本题转化为PC+PB的最小值.

3

如图,∠BAC=30°,M为AC上一点, 

AM=2,点P是AB上一动点,

PQ⊥AC,垂足为点Q,

则PM+PQ的最小值为_____. 

答案为√3.

解析：如图,做M关于AB的对称点N,则NP=MP,

PM+PQ=PN+PQ,

当NQ⊥AC时,

PM+PQ取最小值.

易得∠N=∠BAC=30°,

MD=AM/2=1

所以MN=2,

NQ=MNcosN=2×√3/2=√3.

4

在菱形ABCD中,

AB=2, ∠A=120°, 

点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,

则PK+QK的最小值为______. 

答案为√3.

解析：三个点都是动点

这是点K动成线BD,且P,Q两动点都在直线BD的同侧(转化为一条小河两个村庄的问题),两个动点假设一个动点P不动,作点P关于直线BD的对称点P'

(四边形ABCD是菱形,是轴对称图形.则点P的对称点P'一定在边AB上,点P在边BC上的动点无论怎样动它的对称点一定落到边AB上),

点Q在边CD上从而把问题转化为平行线间的距离PK+QK的最小值为P'Q=AE,

在Rt⊿ADE中AD=AB=2, 

∠ADC=180°-∠A=60°,

所以AE=√3.

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