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中考：最短路径A2

一定直线,

同侧两点

定势思维

求最短找对称

两点之间

线段最短

垂线段最短

先看练习

1.如图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米,B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米,而C、D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该怎么走?路程总长是多少?

25厘米（点链接有详解）

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠BAC,点P,Q分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是(  )

A.4    B.5    C.6    D.7

A.4(点链接有详解)

一定点,两定直线

5

基本模型:

如图,P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.

解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.

6

如图:点P是∠AOB内任意一点, 

OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点.若△PMN周长的最小值是5 cm,则∠AOB的度数是(  ).

A.25° 

B.30° 

C.35°

D.40°

答案为B.

解析:由题意知道点P是∠AOB内的一个相对的定点,点动成线定线射线OA和射线OB,作点P关于射线OA和射线OB的对称点点C和点D,连接CD交射线OA和射线OB与M点和N点, 此时△PMN周长的最小值是5 cm.

由轴对称的性质可知,OP=OD=OC=5 cm,△PMN周长的最小值是5 cm,即PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=5 cm,所以三角形COD是等边三角形,

∠COD=60°,又因为∠COA=∠POA, ∠DOB=∠POB,所以∠AOB=∠COD/2=30°.

7

如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的△DEF.

解:如图,将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D',D″,连接D'D″,分别交AC,BC于点E,F,

此时△DEF的周长等于D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角不变,即∠D'CD″=2∠ACB.

因此,为使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,显然,当CD⊥AB时, CD最小,从而△DEF的周长最小.

最短路径A

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