北京奥数题方法 八年级 正方形的性质

第 502 期回顾

如图,在正方形 ABCD 中,点E、F分别是 BC、DC 边上的两点,且 ∠EAF=45°,AE、AF 分别交 BD 于 M、N.下列结论:

① AB²=BN•DM;

② AF 平分 ∠DFE;

③ AM•AE=AN•AF;

④ BE+DF=√2MN.

其中正确的结论是(　　)

A  ①②

B  ①③

C  ①②③

D  ①②③④

分析:① 转证 AB:BN=DM:AB,因为 AB=AD,所以即证 AB:BN=DM:AD.证明 △ABN∽△ADM(根据两角相等);

② 把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°,得 △ADH.证明 △AFH≌△AFE(SAS);

③ 即证 AM:AN=AF:AE.证明 △AMN∽△AFE (两角相等);

④ 由② 得 BE+DF=EF.运用特值法验证.当 E 点与 B 点重合、F 与 C 重合时,根据正方形的性质,结论成立.

解:① ∵∠BAN=∠BAM+∠MAN

=∠BAM+45°,

∠AMD=∠ABM+∠BAM

=45°+∠BAM,

∴∠BAN=∠AMD.

又 ∠ABN=∠ADM=45°,

∴△ABN∽△ADM,

∴AB:BN=DM:AD.

∵AD=AB,

∴AB²=BN•DM.

故 ① 正确;

② 把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°,

得到 △ADH.

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°.

∴∠EAF=∠HAF.

∵AE=AH,AF=AF,

∴△AEF≌△AHF,

∴∠AFH=∠AFE,即 AF平分∠DFE.

故 ② 正确;

③∵AB∥CD,

∴∠DFA=∠BAN.

∵∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,

∴∠AFE=∠AMN.

又∠MAN=∠FAE,

∴△AMN∽△AFE.

∴AM:AF=AN:AE,

即 AM•AE=AN•AF.

故③正确;

④ 由 ② 得 BE+DF=

DH+DF=FH=FE.

过 A 作 AO⊥BD,

作 AG⊥EF.

则 △AFE 与 △AMN的相似比

就是 AG:AO.

易证 △ADF≌△AGF(AAS),

则可知 AG=AD= 根号 2AO,

从而得证故 ④ 正确.

故选 D.

正方形的性质、相似(包括全等)三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点,综合性极强,难度较大.

第 503 期题目

如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点,且 ∠EAF=45°,对角线 BD 交 AE 于点 M,交 AF 于点 N.若 AB=4√2,BM=2,则 MN 的长为____

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