美国AMC10A数学竞赛真题讲解（三）

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★

适宜对象：初、高中

本期编号：D00082

关键词：美国AMC数学竞赛、AMC10A

2019年AMC10A真题11-15讲解

[Problem 11]

11. How many positive integer divisors of 2019  are perfects quares or perfect cubes（ or both）？

答案：(C)

[分析与解答]

原题意为：2019的正整数约数中是完全平⽅数或完全⽴⽅数的个数为？

由于：2019 = 39 * 619

所以完全平方数的约数有：

3a * 61b，a、b分别为：0、2、4、6、8，共：5×5=25个

完全立方数的约数有：

3a * 61b，a、b分别为：0、3、6、9，共4×4=16个

既是完全平方数又是完全立方数的约数为：

3a * 61b，a、b分别为：0、6，共2×2=4个

因此满足条件的约数有：

25 + 16 - 4 = 37个

[Problem 12]

12. Melanie computes the mean  μ，the median M，and the modes of the 365 values that are the dates in the months of 2019．Thus her data consist of 12 1s，12 2s，．．．，12 28s，11 29s，11 30s，and 7 31s．Let d be the median of the modes．Which of the following statements is true？

答案：(E)

[分析与解答]

原题意为： 已知2019年的各个⽉的⽇期组成的365个数据（12 个 1，12 个 2，……，12 个 28，11 个 29，11 个 30，7 个 31），关于它们的平均数μ，中位数 M，以及众数的平均数 d，下列命题正确的是？

此题要求我们理解：平均数、中位数、众数的概念。

• 平均数：一组数据的总和除以数据个数就是这组数据的平均数。

• 中位数：把一组数据按大小排列，如果数据有奇数个，中间的那个数据就是中位数；如果数据有偶数个，中间两个数据的平均值就是中位数。

• 众数：在一组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数。

[Problem 13]

13. Let △ABC be an isosceles triangle with BC=AC and ∠ACB= 40°． Contruct the circle with diameter BC，and let  D and  E  be the other intersection points of the circle with the sides AC and  AB， respectively. Let F be the intersection of the diagonals of the quadrilateral   BCDE．What is the degree measure of  ∠BFC ？ 

答案：(D)

[分析与解答]

原题意为：等腰△ABC中，BC=AC且 ∠ACB = 40°， 以 BC 为直径作圆， 与  AC、AB分别交于D、E两点。BD和CE交于点 F，则∠BFC的度数是？

在等腰△ABC中，∠ACB = 40°，则：

∠CAB = ∠CBA = 70°

由于BC为直径，则：

∠CEB = ∠CDB = 90°

在四边形FEAD中，内角和为360°，则有：

∠EFD = 360-90-90-70 = 110°

所以：∠BFC = ∠EFD = 110°

[Problem 14]

14. For a set of four distinct lines in a plane，there are exactly N distinct points that lie on two or more of the lines．What is the sum of all possible values of N？

答案：(D)

[分析与解答]

原题意为：对于一个平面上的四条直线，正好有N个不同的交点。N的所有可能值之和是多少？

当直线两两相交时，交点数最多：

4条直线的交点数不可能为2。

可能交点数如下图所示：

因此：N=0+1+3+4+5+6=19

[Problem 15]

15.  sequence of numbers is defined recursively by a1= 1，a2=3/7，and :

for all n⩾3 Then a2019 can be written as p/q，where p and q are relatively prime positive inegers．What is p + q？

答案：(E)

[分析与解答]

原题意为：数列 {an} 中 a1= 1，a2= 7/3，且:

其中 n⩾3．将 a2019写成p/q的形式，其中 p、q 是互质的正整数，则 p + q = ？

根据an通项公式，可转换为：

因此，数列 {an} 的倒数成等差数列：

于是可得第2019项的分子：

a1+(n-1)d = 3+(2019-1)×4 = 8075

所以：

故：

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