北京小学奥数 美国AMC10A数学竞赛真题讲解（二）

本期我们将会讲述2019年AMC10 A真题的部分内容。

上期：美国AMC10A数学竞赛真题讲解（一）

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★

适宜对象：初、高中

本期编号：D00080

关键词：美国AMC数学竞赛、AMC10A

2019年AMC10A真题6-10讲解

[Problem 6]

6.For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

答案：(C)

[分析与解答]

原题意为：对于以下几种类型的四边形，有哪些在其平面中存在一个点与所有的四个顶点等距？

• 正方形

• 不是正方形的矩形

• 不是正方形的菱形

• 不是矩形或菱形的平行四边形

• 不是平行四边形的等腰梯形

此题实际上是考察“4点共圆”，其判定条件为：

• 4个点到一个定点的距离相等，如：正方形

• 四边形的一组对角互补，如：矩形、等腰梯形

对于菱形，由于对角相等，如果要4点共圆，即：两对角之和为180°，这样的话，这两个角就会是90°，从而可得知该菱形为正方形。

对于普通的平行四边形，也是对角相等，同菱形一样的道理，可推得其为矩形。

[Problem 7]

7.Two lines with slopes 

 and 2 intersect at (2, 2). What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line x + y = 10?

答案：(C)

[分析与解答]

原题意为：坡度为

和2的两条直线在（2, 2）处相交。由这两条线和x+y=10线围成的三角形面积是多少？

根据题意知，坡度为

和2的两条直线的方程为：

y-2=2(x-2)，即:y=2x-2

y-2=(x-2)/2, 即:y=x/2+1

另外，还可以求得，这两条直线与x+y=10的交点分别为：

F(4, 6)、G(6, 4)

交点的距离为：

FG = 2√2

进而可求得，交点C(2, 2)与F、G的距离，分别为：

FC = GC = 2√5

解法1：三角形面积公式

根据上述分析，有▲FCG为等腰三角形，如下图所示：

作▲FCG的高CN，交FG于N，则：

FN=NG=√2

则，在直角三角形中由勾股定理可得：

CN=3√2

于是▲FCG的面积为：

2√2 × 3√2 ÷ 2 = 6

解法2：高等数学-积分求面积

根据题意及上述直线方程，我们可以作出如下图：

根据积分的思想，封闭图形的面积为：

[Problem 8]

8.The figure below shows line L with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line L

• some translation in the direction parallel to line L

• the reflection across line L

• some reflection across a line perpendicular to line L

答案：(C)

[分析与解答]

原题意为：下图显示的是L线，有规则的、无限的、重复出现的正方形和线段图案。除了恒等式变换外，下列四种绘制此图形的平面运动变换方案中，有多少种能将此图形转换为自身？

1. 绕直线L点的旋转

2. 与L线平行的变换

3. 与直线L的镜像

4. 一条垂直于直线L的镜像

• 1.正确，在上向正方形和下向正方形中间的点上旋转180°将产生相同的图形；

• 2.正确，向左或向右的变换，可使线上和线下的图形重新对齐（图形向两个方向无限延伸）。

• 3.错误，会导致向上方块变成向下方块；

• 4.错误，会导致换向。

[Problem 9]

9.What is the greatest three-digit positive integer n for which the sum of the first n positive integers is not a divisor of the product of the first n positive integers?

答案：(B)

[分析与解答]

原题意为：满足前n个正整数之和，但不是前n个正整数之积的因数，最大三位数正整数n是多少？

前n个数之积为：

J = 1×2×3×……×n

等差数列求和：二年级“等差数列”，7种方法解出新高度

根据等差数列求和公式有，前n个正整数之和为：

S = (1+n)n/2

如果n为奇数，则(1+n)/2为[1-n]之间的数，此时S必然是J的因数。

如果n为偶数，则n/2为[1-n]之间的数，要使S不是J的因数，则：(1+n)必须是素数。

由于998+1=999=9×111，不是素数；而996+1=997，是素数，因此所求的数为996。

[Problem 10]

10.A rectangular floor that is 10 feet wide and 17 feet long is tiled with 170 one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

答案：(C)

[分析与解答]

原题意为：一块10英尺×17英尺的长方形地板上，铺了170块面积为1平方英尺的瓷砖。一只虫子沿着直线，从一个角落走到另一个角落。包括第一块和最后一块砖，这只虫子总共走了多少块砖?

我们将长方形的地板制作为一个直角坐标系，如下图所示：

虫子从A点爬到对角点B

在此直角坐标系中，直线AB的方程为：

虫子经过多少块砖，表现为直线AB与垂直于x轴的整数直线族、垂直于y轴的整数直线族的交点数。即：

x=n（n=0，1，……，16，17）

y=m（m=0，1，2，……，9，10）

n和m的数目之和为：18+11=29。

n和m公用的点为A、B，共2个。

重复计算的方块，A与E点共用一块，而F与B不共用。

因此共有：29-2-1=26块。

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