北京八年级数学 面积法+平行四边形

第 496 期回顾

如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6,有一内角为 60°,M 为 CD 边上的中点,P 为对角线 AC 上的动点,则 PD+PM 的最小值为______.

分析:由于菱形的一内角为 60°,

可假设 ∠DCB=∠DAB=60°,

则 ∠ADC=∠ABC=120°,

连接 BD、BM 由菱形的性质可知,AC 是 BD 的垂直平分线,即点 B 是点 D 关于直线AC的对称点,故 BM 即为 PD+PM 的最小值,再由等边三角形的判定定理可得出 △BDC 是等边三角形,由等边三角形的性质即可求出 BM 的长.

解:∵菱形 ABCD 的一内角为 60°,

∴设 ∠DCB=∠DAB=60°,

则 ∠ADC=∠ABC=120°,

连接 BD、BM,则 AC 是 BD 的垂直平分线,

即点 B 是点 D 关于直线 AC 的对称点,

∴BM 即为 PD+PM 的最小值,

∵四边形 ABCD 是菱形,

∠ADC=∠ABC=120°,

∴∠BDC=∠DBC=60°,

∴△BCD 是等边三角形,

∵M 为 CD 边上的中点,

∴BM⊥DC,

∵DC=BC=6,

∴CM=DC/2=1/2×6=3,

在 Rt△BMC 中,

BM=√(BC²-CM²)

=√(6²-3²)=3√3.

答案为:3√3.

本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

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