[数学]第24届YMO交流活动小学6年级初赛试题

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（1）(     )。

「答案解析」

注意可以简便计算的特殊数字。

上面每项都是可以帮助我们简便计算的数字，大家要记住其特征。

(2)（     ）。

「答案解析」

注意观察可以简算的数字。

这不科学啊。

(3)(      )。

「答案解析」

这很不科学，看不出有什么规律。

完毕。

(4)(      )。

「答案解析」

先将分数全转换成真分数，注意到分母相同。

(5)(      )。

「答案解析」

首先，119不是质数，由于，能够被7整除。但分解后发现也不能约分，只能老老实实算。

完毕。

(6)(      )。

「答案解析」

先化成真分数。

完毕。

(7)(      )。

「答案解析」

先提取公因式。

完毕。

(8)(      )。

「答案解析」

此类算式千万不能先通分。

完毕。

(9)

「答案解析」

按道理，此类也不要通分。

注意到分子里每小项的分子刚好比其分母的3倍多6，

我们先令，那么：

完毕。

(10)(      )。

「答案解析」

完毕。

(11)(      )。

「答案解析」

完毕。

(12)(      )。

「答案解析」

完毕。

(13)(      )。

「答案解析」

令，那么

所以，。

(14)(      )。

「答案解析」

这个似乎没有什么规律，是不是只能死算呢？

完毕。

(15)(      )。

「答案解析」

完毕。

1、是（   ）的平方。

「答案解析」

像台阶一样逐渐升高，从1升到6，然后再降到1，这样的数叫阶梯数，共有6级台阶，那么它就是6个1的平方，也就是。

同时，。

所以，该数是。

2、已知都是质数，那么(    )。

「答案解析」

由于每个质数除以6的余数，不是1就是2。

如果，那么是3的倍数，那么。

那么，也就是：

都是质数。

仔细观察，当时，此时都满足要求。

那还有其他解吗？

我们只要任取一个k，只要上面5个数中有一个是合数，就说明这样的k不满足要求。

仔细观察，由于第一个数是，和5有关，那么，我们就按5来对k分类好了。

当时，只要，那么是5的倍数，则这样的数不是质数。

当时，也是5的倍数。

当时，也是5的倍数。

当时，也是5的倍数。

当时，也是5的倍数。

所以，只要，无论取什么数，上面5个数中必有一个是5的倍数。

综上所述，是唯一解。

3、一辆车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，那么可以比原定时间提前1小时到达。如果以原速行驶90千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前1小时到达。甲乙两地的距离是(   )公里。

「答案解析」

提速20%，耗时就是原来的，后来提前1小时到达，那么原来的行驶时间就是6小时。

那如果提速30%行驶完全程，需要的时间就是小时，节省的时间就是

事实上只节约了1小时，那么这里差了小时。

也就是说，如果前面90公里也提速30%，那么是可以节省小时的。

那么，原速行驶90公里花的时间就是

那原来的速度就是

那么，甲乙两地的距离就是：

完毕。

4、在一圆形跑道上，甲从A点，乙从B点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，乙环行一周需要（   ）分钟。

「答案解析」

甲走4分钟的路程，乙需要走6分钟，说明甲的速度是乙的倍。

同时，甲乙第一次相遇后反向而行，两人的速度和就是乙的倍，

由于分钟后再次相遇，那么，乙的速度也是12分钟的2.5倍。

因此，乙环行一周需要的时间就是分钟。

5、如图，三角形ABC中BC边的高AD长7厘米，三角形BCE中BC边的高EF长4厘米，并且已知，则(      )平方厘米。

「答案解析」

同底三角形面积之比等于高之比。

所以，平方厘米。

6、如图，面积为36平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的三等分点，那么阴影部分的面积是（    ）平方厘米。

「答案解析」

依题意，，

因此，。

所以，阴影部分的面积就是平方厘米。

7、如下图，正方形ABCD中，E为AD的中点，，求的值是（     ）。

「答案解析」

如图所示，做上一些辅助线。

假设，

根据题目里的比例关系，那么，正方形面积就是。

那么，,

。

同理，，

因此，。

8、如图所示，在中，，D是AE的中点，那么(      )。

「答案解析」

如下图，连上CD。

假设，那么，。

因此，。

9、甲乙两个工程队分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天。雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%。实际情况时两队同时开工，同时完工。那么在施工期间，下雨的天数时（    ）天。

「答案解析」

假设下雨天数是天，晴天是天。

则有：

可以解得。

同时，

可以解得，

因此，天。

10、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为"十全数"，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被整除，并且它的前四位数十4876，那么这个十全数是（        ）。

「答案解析」

由于该数能同时被2和5整除，所以末位数必定是0。

同时，该数也能被4整除，那么末两位数必定能被4整除，那么，末两位数必定是20。

设该数是，那未知的四个数只能在中选择。

同时，由于能被9和11整除，那么该数必定能被99整除，而。

因此，

所以

由于

所以

此时

同时，该数能被7、11、13整除，那么必定能被1001整除，那么，必有：

由于a只能是3或1，d只能是9和5，那么，只能有这样的关系：

也就是：

那么，只能推论出如下关系：

那么，所求的数可能就是。

很明显，这个数的末三位能被8整除，那么该数也能被8整除。末四位能被16整除，该数能被16整除。

综合起来，该数已经能被整除，满足要求。

11、记，这里，当k在1至2019之间取正整数值时，有（   ）个不同的k，使得s是一个正整数的平方。

「答案解析」

很明显，任何偶数的平方都是4的倍数，任何奇数的平方可以写成：

的形式，也就是说，任何奇数的平方被4除余1。

而在中，只要，那么必定是4的倍数，那么，那么永远不可能是平方数。

因此，。

所以，。

因此，，

也就是，在从到奇数的平方中，满足条件的刚好有个。

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