[数学]第23届YMO交流活动小学6年级初赛试题

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1、把一个正方体分割成8个大小相同的小正方体，小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积 增加了(     )倍。

A、1

B、2

C、3

D、4

「答案解析」

每个小正方体新增了3个面，刚好是新增了1倍。

也可以假设原正方体变成为2，则其表面积为。

分割成8个小立方体后，总表面积为。

因此，增加了1倍。

选A。

2、一件商品先涨价 15%，再降价 15%，该商品的价格(    )。

A、比原价低

B、比原价高

C、与原价相同

D、无法判断

「答案解析」

最后定价是。

选A。

3、分母是 2016 的所有最简真分数的和是(      )。

A、 288

B、 576

C、 144

D、 200

「答案解析」

先分解质因数，由于。

根据欧拉函数，可以知道最简真分数的个数是：

对于这576个数中的任意一个分子为a的分数，必然存在一个对应的分子为2016-a的分数，这两个分数的和为1。

换句话说，如果a没法被2、3、7整除，则2016-a也一样没法被这三个数整除。

因此，选A。

当然，如果不能理解上面的思想，我们可以用集合的思想来死算。

所以，在分母为2016的所有真分数中，分子和为：

分子为2的倍数的和是：

分子为3的倍数的和是：

分子为7的倍数的和是：

分子为2x3的倍数的和是：

分子为2x7的倍数的和是：

分子为3x7的倍数的和是：

分子为2x3x7的倍数的和是：

所以，所有最简真分数的分子和就是：

因此，所有最简真分数的和为：

需要特别注意的是，死算的话其实用到的也是高中的集合知识，并且需要特别注意编者上面所用到的公因数1008的提取技巧，否则计算量很大。

选A。

4、有盐水若干克，第一次加水若干，浓度变为 4%;然后又加入同样多的水，浓度变为3%;第三次再加入同样多的水，这时浓度变为(    )。

A、1%

B、2%

C、2.4%

D、2.8%

「答案分析」

想不清楚就列方程。

譬如，设原有盐水x克，每次加水m克，则根据上述的关系，可以列出方程。

可以解得。

因此，第三次加水后的浓度就是：

选C。

5.定义，读作N的阶乘。2019!能被7整除，如果把这个乘积去反复除以7，直到不能被7整除为止，从第一次除以7开始算，共可除以7 (  )次。

A、288

B、329

C、334

D、335

「答案分析」

注意，除了7外，我们还要注意7的次幂。

次数就是：

选C。

6.一个长方形的周长是 76 厘米，现将这个长方形的长和宽各增加 20 厘米变成一个新的长方形，新长方形的面积比原长方形的面积多(      )平方厘米。

A、400

B、760

C、1160

D、1520

「答案分析」

这个题目可以用数形结合法来做，当然，设未知数也是可以的。

我们设长方形的长和宽分别为a和b，各增加20厘米后，增加的面积其实是两个长方形和一个正方形。

选C。

7、有一个自然数，用它分别去除 62、90、130 都有余数，这三个余数的和是24。这三个余数中最大的是(    )。

A、14

B、16

C、18

D、19

「答案分析」

根据题意，这个自然数肯定比62小，并且能被该自然数整除。

分解下质因数，

由于，余数和是24，那么，这个自然数肯定比8大。

因此，该自然数只能是43。

因此，最大的余数就是

选D。

8、整数146 和234 的三个数位上数字的乘积都是24(注：，)，那么共有(    )个三位数其各位数字的乘积是 72。

A、24

B、25

C、26

D、27

「答案分析」

分解下质因数，。

那么，可能的组合有

由于三个数的全排列共6种，有数重复则除以2。因此，这样的数共有

选A。

9、己知一个质数的三倍与另一个质数的五倍的和是 301，则这两个质数的和是 (        )。

A、61

B、85

C、99

D、61或99

「答案分析」

设这两质数是a和b，有：

根据奇偶性，必有一个质数为2，

假设a=2，则b=59。

假设b=2，则a=97。

因此，选D。

10、如下图，梯形ABCD 的面积是120，AB=3CD,E为AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F，四边形CDFE的面积是(    )。

A、20

B、21

C、22

D、25

「答案分析」

如下图所示，连接DE。

依题意，根据三角形的面积关系，可以知道：

，，

由于E是AC的中点，所以，

，。

根据蝴蝶原理，有：

，

,

。

所以，

。

所以，

。

所以，

，

所以，

。

所以，四边形CDFE的面积是平方厘米。

选B。

1、（    ）

「答案分析」

由于，所以，原式等于。

2.已知质数 A、B、C 满足：，那么 的最大值是（    ）。

「答案分析」

假设，那么，根据奇偶性，那么。

那么，要想积最大，那么B和C要接近45，

那么，很容易想到，。

因此，最大值就是。

3、一项工程，甲、乙、丙三人合作需要15天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天，这项工程由甲单独完成需要（    ）。

「答案分析」

设方程来解答是很简单的，假设甲需要x天，乙需要y天，丙需要z天，则有：

很容易解得天。

从而可得天。

从而解得天。

4、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑 20米，则甲跑10秒可追上乙;若乙比甲先跑3秒，则甲跑6 秒能追上乙,甲每秒跑（     ）米。

「答案分析」

设方程来解答是很简单的，假设甲的速度是x，乙的速度是y，则有：

很容易解得，从而可得。

5.一个三位数与 2019之和恰好是一个完全平方数，这样的三位数共有(      )个。

「答案分析」

假设这个是x，那这样的三位数肯定比，比大。

由于，。

所以：

所以，这样的x可以从47排到54，一共8个。

6.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速度行驶 120 千米后，再将速度提高 25%，则可提前 40 分钟到达。那么甲、乙两地相距(     )千米。

「答案分析」

提速20%后提前1小时到达，说明原来需要花费的时间是：

行驶过120千米后，时间没有节约，所节省的时间都是在提速25%后实现的。

假设甲乙相距为s，原有车速为v，则有：

由于，可以解得：

从而，，

从而可得千米。

7、百货超市购进一批大米，第一个月售出大米的 40%，第二个月又售出大米 520 袋，这时已售出的 和剩下的数量比是5:1，则百货超市最初购进大米(   )袋。

「答案分析」

设原购进大米x袋，

则有，从而可得袋。

8、某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均提高了1分，得一等奖的学生平均分提高了3分，求原来一等奖平均分比二等奖平均分多（    ）分。

「答案分析」

这题可以设未知数用方程来解答，也可以不用。

我们像上面那样画个示意图，6个一等奖分在一组，后面的4个一等奖分在另一组，20个二等奖的分在另一组。

前6个的平均分降低了3分，那么就要将6x3=18分分给后面4个人，每人可分18/4=4.5分。

20个二等奖的平均分提高了1分，这20分是后4个一等奖的分匀过来的，后4个一等奖的平均每人分摊了20/4=5分。

因此，原有平均分，一等奖比二等奖高分。

9.如下图，正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起，M、N点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是 21 平方厘米，正方形ABCD 的面积是(     )平方厘米。

「答案分析」

取BC中点和AB中点，原有正方形被分割成了4个小正方形，

如果将每个小正方形的面积看作2份，则阴影部分刚好是7份。

因此，正方形的面积就是平方厘米。

10、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后12分甲车超过了一名长跑运动员，4分后乙车也超过这名运动员，又过了4分丙车也超过了这名运动员。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走（    ）米。

「答案分析」

依题意，当乙车追上运动员的时候，运动员又走了

当丙车追上运动员的时候，运动员又走了800米。

因此，丙车的速度就是：

也就是说，丙车每分钟走680米。

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