[数学]第28届YMO交流活动小学6年级总决赛试题

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（把正确的答案填在括号内，每题 4 分，共 100 分）

1、 如果

那么 x=（  ）。

「答案解析」

裂项求和。

由于：

所以，x=18。

2、三位数，其中，这样的数有（  ）个。

「答案解析」

可以分类枚举。

1）最小数字为0的时候，只有9+9+0一种组合，共2种排列。

2）最小数字为1的时候，有1+8+9一种组合，共6种排列。

3）最小数字为2的时候，有2+7+9和2+8+8两种组合，共6+3=9种排列。

4）最小数字为3的时候，有3+6+9、3+7+8两种组合，共6x2=12种排列。

5）最小数字为4的时候，有4+5+9、4+6+8、4+7+7三种组合，共6x2+3=15种排列。

6）最小数字为5的时候，有5+5+8、5+6+7两种组合，共3+6=9种排列。

7）最小数字为6的时候，有6+6+6一种组合，共1种排列。

综上所述，一共有2+6+9+12+15+9+1=54个。

此类分类方法稍微麻烦了些，不过便于理解。

3、连续掷一枚骰子 3 次，三次点数之和为 13 的不同抛掷结果有（   ）种。

「答案解析」

方法同上，分类枚举。

1）最小点数为1时，有1+6+6一种组合，共3种排列结果。

2）最小点数为2时，有2+5+6一种组合，共6种排列结果。

3）最小点数为3时，有3+4+6和3+5+5两种组合，共6+3=9种排列结果。

4）最小点数为4时，有4+4+5一种组合，共3种排列结果。

综上所述，一共有3+6+9+3=21种结果。

4、一个四位数，每一位数字都是奇数，各个数位上的数字和为 16，这样的四位数一共有（           ）个。

「答案解析」

方法同上，分类枚举。

1）1+1+5+9，共种。

2）1+1+7+7，共种。

3）1+3+3+9，共种。

4）1+3+5+7，共种。

5）1+5+5+5，共种。

6）3+3+3+7，共种。

7）3+3+5+5，共6种

综上所述，一共种。

5、乘积：1022×1023×1024×1025×1026×……×2020×2021×2022 是一个多位数，这个多位数的尾部有（  ）个连续的零。

「答案解析」

本题就是求该多位数中含有多少个2x5，由于2的数量远远超过5，也就是求包含多少个5。

2022!中5的因素个数是：

1021!中5的因素个数是：

因此，乘积中的多位数尾部连续个0的个数就是：

末尾一共有250个连续的零。

或者这样想。

我们依次去除5，能整除的留下商，不能整除的丢弃。

第一轮就是5x205,5x206,...,5x404，共404-204=200个5。

第二轮就是5x41,5x42,...,5x80，共80-40=40个5。

第三轮就是5x9,5x10,...,5x16，共16-8=8个5。

第四轮就是5x2,5x3，共2个5。

累加起来也就是有250个。

可以参考：[数学]第30届YMO交流活动6年级初赛试题 第五题。

6、如图，四边形 ABCD 与四边形 ACEF 都是平行四边形，三角形 ABC 的面积是 23 平方厘米， 三角形 AFD 的面积是 12 平方厘米，那么三角形 CDE 的面积是（    ）平方厘米。

「答案解析」

这里用一半模型。

可以知道三角形CDE的面积加上AFD的面积就是23平方厘米。

三角形CDE的面积就是23-12=11平方厘米。

7、能被8整除，但不能被12整除的三位数共有(   )个。

「答案解析」

8和12的最小公倍数是24。

从1~999，8的倍数有[999/8]=124个，24的倍数有[1000/24]=41个。

从1~100，8的倍数有[100/8]=12个，24的倍数有[100/24]=4个。

因此，满足题意的三位数共有：

个。

8、把 2022 表示为若干个连续自然数的和，有（  ）种不同的表示方法。（注意：以 6＝1+2+3＝2+1+3 为例，这算是一种表示方法，它们只是加数的次序不同）

「答案解析」

先将2022分解，有：

我们依次拿18以内的质数去除，可以判断出337是质数。

考虑下连续自然数和的特性，只有如下几种：

504,505,506,507，

673,674,675，

163,164,..,168,169,...,173,174。

共三组。

9、计算：（   ）.

「答案解析」

这可以首尾用立方和公式，不过计算量比较大，也可以用连续的立方和公式。

也就是：

所以：

。

10、已知 a、b、c 都是质数,且 b-a=c-b=34，则 a+b+c=（   ）。

「答案解析」

质数一般都会牵涉到2，可惜这道不是。

从条件来看，只能知道a+c=2b和a<b<c之类的推断。

这个不好算，我们一般都背过100以内的质数表吧。

我们就拿最小的3去尝试，可以发现：

3,37,71是一组解。

对于大于3的质数，我们可以写成6x+1或6x-1的形式。

令a=6x-1,b=6y-1,c=6z-1，

1）对于6x-1

由于：

很明显，6x+33是3的倍数，6y-1不是3的倍数，无解。

2）对于6x+1

由于：

同理，无解。

因此，3,37,71是唯一解。

所以，所求结果是。

11、当自然数 n 的值依次取 1，2，3，…，2021，2022 时，算式[n÷2]+[n÷3]+[n÷5]有（    ） 个不同的值。

(注：[x]表示不超过 x 的最大的自然数)

「答案解析」

这个一脸懵，半天没找到规律，依题意，我们先以2x3x5=30一循环来找规律吧。

我们先考虑从0~2009，将自然数n记为：n=30k+r(0<k<68,0<r<30)。

那么，

可以看到，自然数每30一循环的时候，算式的结果每31一循环，因此，在不同循环的30个数内，结果是没有重复的。

我们可以继续分解下，譬如将r记为6t+v之类的，继续缩小范围。

这里，选择死算，依次将0~29这30个数的规律写下来，中间三列是商，。

可以看到，只有22个不同的结果。

因此，我们可以推断出，在0~2009内，一共有67x22=1474个不同的结果。

我们再考虑2010~2022，其相当于0 ~ 12，可以看到，这里又有10个不同的结果。

因此，所求算式就有1474+10=1484个不同的结果。

注意了，平时学习的时候可以这样分析，考试的时候注意下应试技巧，不需要写得这么细致，有时候心算或写最后一列即可。

12、计算：S=1×3+3×5+5×7+…+19×21+21×23=（  ）。

「答案解析」

拆分成有规律的。

上面用到了的平方和求和公式：

平方差公式：

用其他的方法感觉没这样直接。

13、分母是 2022 的最简真分数的和是（  ）。

「答案解析」

由于2022=2x3x337。

根据欧拉函数，最简真分数的个数是：

因此，其最简真分数的和为672/2=376。

参考第23届的第三题，这里的解答详细些。

14、2022 的数字和是 2+0+2+2=6，从 1 至 2022 所有自然数的数字之和是（   ）。

「答案解析」

分类汇总。

记1+2+3+...+9=45。

1）先计算从0~999这1000个自然数的数字之和。

个位数上的数字之和就是100x45，

十位数上的数字之和就是100x45，

百位数上的数字之和就是100x45。

2）再计算从1000~1999这1000个自然数之和。

个位数上的数字之和就是100x45，

十位数上的数字之和就是100x45，

百位数上的数字之和就是100x45。

千位数上的数字之和就是1000。

3）最后计算从2000~2022这23个自然数之和。

个位数上的数字之和就是2x45+3=93`，

十位数上的数字之和就是10x1+2x3=16，

百位数上的数字之和就是0。

千位数上的数字之和就是23x2=46。

综上所述，所求数字之和为13500+14500+155=28155。

15、在下图中，平行四边形 ABCD 的周长为 70 厘米，AE=8 厘米，AF=12 厘米，那么平行四边形 ABCD 的面积是（          ）平方厘米。

「答案解析」

很明显，有：

所以，可得AB=14。

从而，平行四边形的面积就是12x14=168平方厘米。

16、在下图中，等边三角形 ABC 的周长是 270 厘米，用折线把这个三角形分成面积相等的五个三角形，那么线段 AF 与 AG 的长度之和是（          ）厘米。

「答案解析」

三角形边长为270/3=90厘米。

根据三角形面积的比例关系，有：

同理：

同理：

同理：

所以，所求长度之和为：

。

17、一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了 10 小时。已知水速是每小时 8 千米，又知前 5 小时比后 5 小时多行 64 千米。那么，甲、乙两港相距（    ）千米。

「答案解析」

这个设未知数简单些。

譬如设船速为v，逆水行舟的比5小时多了h小时，有如下等量关系：

很容易，解得h=1。

不然，直接想出小时还是有难度的。

这道题，前面的YMO有类似的题，可以去参考下。

因此，顺水行舟花了5-1=4小时。

所以，又有如下等量关系：

从而解得v=40。

从而可得两地相距4x(40+8)=192千米。

18、一堆积木由 16 块棱长是 3 厘米的小正方体堆成。这个立体图形的表面积（包括与底面） 是（  ）平方厘米。

「答案解析」

考虑到堆叠需要支撑关系。

最下一层9块，中间一层6块，最上一层1块。

最下一层的侧面积是3x4+2x2=14个正方形。

中间一层的侧面积是3x4=12个正方形。

最上一层的侧面积是4个正方形。

从俯视图来看，包括底面积，其面积是9x2=18个正方形。

因此，表面积是(14+12+4+18)x3x3=432平方厘米。

19、如图，三角形 ABC 的面积为 180 平方厘米，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，AD:DB=3:1，AE:CE=1:2，BF:FC=2:1，那么三角形 DEF 的面积是（  ）平方厘米。

「答案解析」

根据三角形面积比例关系。

连接BE、DC、AF，可以得到：

所以：

平方厘米。

这样稍微说得简单一点，用到的知识就是：“等高三角形面积之比等于其底边之比”。

20、如下图，一个大正方形被分成四个长方形，它们的面积占大正方形面积的比值如图所示。 如果阴影面积是 25 平方厘米。那么大正方形的边长是（         ）厘米。

「答案解析」

左上长方形和右上长方形的面积之比为3:4，由于等高的关系，其底边之比也是这么多。

设左上长方形的底边为3t，右上长方形底边为4t，正方形边长为x，则有：

解得：

由于：

所以t=3

所以，大正方形的边长就是7x3=21厘米。

21、在下图中，正方形 ABCD 的面积是 64 平方分米，E、F 分别是 AB、AD 的中点，FG=3CG。阴影部分面积是（          ）平方分米。

「答案解析」

设S=64。

连接BF和CE，根据面积比例关系，有：

所以，所求阴影面积为：

平方分米。

22、下图是一块长方形铁皮，铁皮的长是 33.12 分米。利用图中的阴影部分，正好能做成一个圆柱形油桶(接头处忽略不计)。那么这个油桶的容积是（ ）升。

「答案解析」

设圆的半径为r，则有：

可以解得：

因此，油桶的体积就是：

立方分米。

也就是803.84升。

23、在一个圆柱形水桶里，将一段底面直径是 20 厘米的圆钢浸没在水中，水面上升了 7.5 厘米。接着将圆钢竖直地拉出水面一部分后，水面下降了 3.5 厘米。已知露出水面的圆钢长是 7 厘米。那么圆钢的体积是（    ）立方厘米.（π取 3.14）

「答案解析」

设水桶半径为r，圆钢高度为h。

因此，有：

上下两式相除，就有：

如果不列方程，我们可以借助于图形，通过逻辑关系想明白上面这个等量关系。

所以，h=15。

所以，圆钢的体积就是：

立方厘米。

24、两父子在旅游时被困在一个无人岛上，他们要做一个独木小船逃出这个无人岛，父亲单独做要 12 小时完成，儿子单独做要 18 小时完成。如果按照父亲、儿子、父亲、儿子……的顺序交替工作，每人工作 2 小时后交换，那么需要（  ）小时能做好独木小船。

「答案解析」

父子合作需要：

因此，两人各自工作了6小时后，剩下未完成的部分是：

刚好轮到父亲工作，此时他刚好能完全做完，需要的时间是：

因此，父子两人总共耗费的时间就是：

。

25、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。两人下山的速度都是各自上山速度的 2 倍。甲到达山顶时，乙距山顶还有 337 米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。那么山脚到山顶的距离是（ ）米。

「答案解析」

设距离是S，甲的速度是a，乙的速度是b。

当甲到了山顶时，有：

当乙到了山顶时，甲向山下走了：

当乙走到半山腰时，甲又走了：

因此，有：

所以：

代入最上面那个式子，有：

也就是：

从而可得S=2022米。

这方程解起来有点难度，其实我们早就可以拿甲乙的速度比来设未知数，这样少了个未知数。

不用方程的话，逻辑上会比较复杂，但等量关系就简单些。

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