2006年华杯赛真题，会做的孩子都是优等生（20年2月2日）
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家长是孩子最好的老师，
这是奥数君第1105天给出奥数题讲解。
今天的题目是组合数学问题，
改编自2006年华罗庚金杯赛试题，
原题是数轴还有正负，
我全部改为了自然数以适应小学内容，
本题详细讲解后小学5年级学生能听懂。
题目（4星难度）：
从不大于2n的2n+1个自然数中，为了确保能选出2006个自然数，使其中任意2个数的差都不等于4，n的值最小是多少？
辅导方法：
将题目写给孩子，
让他自行思考解答，
若20分钟仍然没有思路，
再由家长进行提示性讲解。
讲解思路：
这道题属于组合数学问题，
有一种解法是任意8个连续自然数中，
最多能选出4个数满足条件，
然后据此推出答案，
这种做法虽然看着简捷但不够严格，
因为任意12个数中又可以选出8个数，
为什么不用12要用8还需要详细论证。
总的解题思路是：
分n是奇数和偶数的情况分别讨论，
看每种情况最多能选出多少个数，
最后根据最大值等于2006得到答案。
步骤1：
先思考第一个问题，
如果n是偶数2k，
最多能选出多少个数满足条件？
此时自然数为从0到4k,
按除以4的余数分为4个组，
第一组是0,4,8,…,4k,
中间最多能选出[(k+2)/2]个，
其中[a]表示不大于a的最大自然数；
第二组是1,5,9,…,4k-3,
中间最多能选出[(k+1)/2]个；
第三组是2,6,10,…,4k-2,
中间最多能选出[(k+1)/2]个；
第四组是3,7,11,…,4k-1,
中间最多能选出[(k+1)/2]个。
因此这时最多能选出的数是
3[(k+1)/2]+ [(k+2)/2]个。
步骤2：
再思考第二个问题，
如果n是奇数2k+1，
最多能选出多少个数满足条件？
此时自然数为从0到4k+2,
按除以4的余数分为4个组，
第一组是0,4,8,…,4k,
中间最多能选出[(k+2)/2]个;
第二组是1,5,9,…,4k+1,
中间最多能选出[(k+2)/2]个；
第三组是2,6,10,…,4k+2,
中间最多能选出[(k+2)/2]个；
第四组是3,7,11,…,4k-1,
中间最多能选出[(k+1)/2]个。
因此这时最多能选出的数是
[(k+1)/2]+3[(k+2)/2]个。
步骤3：
综合上述几个问题，
考虑原题的答案。
如果n是偶数且能取出2006个数，
根据步骤1的结论，
n最小是2006；
如果n是奇数且能取出2006个数，
根据步骤2的结论，
n最小是2005。
所以原题的答案是2005。
思考题（3星难度）：
原题目改个数字。
从不大于2n的2n+1个自然数中，为了确保能选出2006个自然数，使其中任意2个数的差都不等于2，n的值最小是多少？
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