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[引言]从2010年起，国内数学高联赛分为一试和二试(加试)。一试考试时间为每年9月中旬第一个周日上午8：00—9：20，共80分钟。包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分。[题目9]若△ABC的内角A,B,C满足sinA=cosB=tanC，求cos3A+cos2A-cosA的值．[解析]由于sinA=cosB，所以A=π/2±B。又由于tanC有意义，所以C不为直角，即只能为A=π/2+B。于是，
[题目10]给定正整数m(m≥3)。设正项等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足：{an}的首项等于{bn}的公比，{bn}的首项等于{an}的公差，且am=bm。求am的最小值，并确定当am取到最小值时a1与b1的比值。[解析]根据题设，设数列{an}的首项为a，公差为b，数列{bn}的首项为b，公差为a，其中，a,b＞0。
将上式两边乘以(m-1)2，并利用多元均值不等式，有
当且仅当(m-1)2b=λ-(m-1)b时取等，即
于是，当am取到最小值时，即λ取得最小值时，a1与b1的比值为
[题目11]在平面直角坐标系中，双曲线Г：x2/3-y2=1。对平面内不在Г上的任意一点P，记ΩP为过点P且与Г有两个交点的直线的全体。对任意直线l∈ΩP，记M,N为l与Г的两个交点，定义fP(l)=|PM|•|PN|。若存在一条直线l0∈ΩP，满足：l0与Г的两个交点位于y轴异侧，且对任意直线l∈ΩP，l≠l0，均有fP(l)＞fP(l0)，则称P为“好点”。求所有好点所构成的区域的面积。[解析]设P(a,b)为好点，下面求取a,b需满足的充要条件。对任意直线l∈ΩP，设直线l的倾角为θ(0≤θ＜π)，则直线l的参数方程为，
根据题设，上述二次方程有两个不同的解，因此3sin2θ-cos2θ≠0，
当l与Г交于y轴异侧两点时，由双曲线Г的性质可知θ∈[0,π/6)∪(5π/6,π)。此时3sin2θ-cos2θ＜0，于是有
当l与Г交于y轴同侧两点时，由双曲线Г的性质可知θ∈(π/6,5π/6)。若存在符合题意的l，有
即θ∈(π/6,π/4)∪(3π/4,5π/6)。换句话讲，对于θ∈[π/4,3π/4]，a,b不满足前述条件，即
反之，若上式成立，且θ∈[π/4,3π/4]，注意到，此时sinθ≥|cosθ≥0，则有
综上，P(a,b)为好点的充分必要条件为|a|+|b|≤√2。所求的面积为4。
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