北京小学奥数 整边三角形的结论

前面几天和同学们介绍了平面几何的几个常见模型，

在平时平面几何问题的解题当中都用的非常多，非常实用，

熟悉之后能够大大提高我们的解题效率。同时，在定理的证明

过程中我相信也能够大大提高同学们的逻辑推理能力，

这是非常重要的数学能力之一。

今天开始，要向同学们介绍的内容依然和三角形有关——有关

整边三角形的几个重要结论

首先，要介绍什么是整边三角形？

顾名思义，整边三角形就是边长的长度为整数的三角形

在我们现阶段做题当中遇到的三角形几乎都是整边三角形

了解了整边三角形之后，我们就要开始今天的正课内容了

今天向大家介绍和整边三角形有关的第一个重要结论

结论1：最大边为n的整边三角形个数为：

下面我们再来证明该结论的正确性：

证明：最大边的长度为n，那么我们不妨设另外两条边长为x，y

      且 x <= y <= n.

      得出：x+y > n （不然无法构成三角形）

            n/2 < y <= n （x同理）

      当n为奇数时，假设n=2m-1

      则x=m，y=m（一个三角形）

        x=m+1，y=m-1，m，m+1（三个三角形）

        x=m+2，y=m-2，......，m+2（五个三角形）

        x=2m-1，y=1，........，2m-1（2m-1个三角形）

       所以三角形总和=(1+3+5+.....+2m-1)=m^2（等差数列求和，首项为1，公差为2）

       而m=（n+1）/2，将m=（n+1）/2代入m^2，即可证明当n为奇数时结论1成立。

       当n为偶数时，也能得到上述结论成立吗？自己证明一下

       提示：方法与上述类似。

             上节课跟大家介绍了整边三角形的重要结论1，

相信同学们通过自己的练习对该结论已经掌握

的比较好了，上节课留的证明问题，根据提示，

应该很容易能够完成，这里就不再重复了。

这节课我们继续介绍整边三角形的重要结论，

结论2：最大边为n，且三边的边长互不相等的整边三角形个数为：

该结论的证明步骤与上节课类似，这里也不再过多阐述，

同学们可以自己在本子上证明。

结论3：已知整边三角形的周长为n，则这样的整边三角形个数有：

同样的，下面将为大家证明该结论的正确性步骤如下：

证明：当 n=2m 时，设整边三角形的三条边长分别为 a、b、c

其中，a >=b >= c，a+b+c=2m（三角形周长等于三条边长和）

b+c > a，则得出：2m/3 <= a <= m-1

(2m-a)/2 <= b <= a, 2<= c <=b

运用模6，将m分为：6k，6k-1，......，6k-5，六类。

当m=6k时，a=4k，b=4k，c=4k（一个整边三角形）

          a=4k+1，b=4k，c=4k-1

          a=4k+1，b=4k+1，c=4k-2（两个整边三角形）

          当a=6k-1时，b的取值为3k+1到6k-1，

          c的取值为2到3k（6k-3个整边三角形）

          因此整边三角形总和为：1+2+......+6k-3=3k^2

          进而得出整边三角形总和为：(m^2+3)/12

          其他五类及n=2m-1的证明方法类似。自己可在本子上进行证明

          根据结论3，进一步可得到结论4

          结论4：周长为n，且三边互不相等的整边三角形个数为：

证明步骤同上。