学会透过现象看本质——一道YCB计数题的命题杂谈

写在前面：

前段时间写过一篇文章，讲过用小学标数法解一道AMC12试题。

那篇文章发布之后，有不少家长和学生跟我互动，觉得自己的标数法没学好，想要我多讲一下这方面的内容。

好巧不巧的是我今年刚好给YCB初一组的初赛出了一道脱胎于标数法的计数题，然而当时还没有考，出于保密原则，也就没办法写这篇文章。

现在初赛阶段的测试全部告一段落，试题也基本公布。刚好趁着这个机会，从这道题出发，同大家聊一聊计数问题中“透过现象看本质”的学习方法。

我供给今年YCB初一组初赛的第九题是这样一道题，虽说放到了初一组，但小学高年级的孩子都完全有能力完成：

这道题乍看之下非常像三年级学习的标数法找最短路线。由此出发，也很容易得到下面两种错误解答——说句题外话，计数问题中的错误解答，比其他题型的错误更具有分析价值。大家在整理计数的错题时，一定要仔细对照解析，分析清楚自己为什么错了：是分类不全，算式列错还是重复计数了？只有洞悉错误原因，才能离正确越来越近。

错解一：直接标数

直接应用标数法，会得到B点对应的数字为4231，故答案为4231条最短路线。

这个方法错在哪里呢？

其实，通过标数法得到的方法数，并非严格意义上的“最短路线”，而应当称为“不回头路线”。

显然，在横平竖直的经典标数法问题里，只要不回头便是最短了。但在这个图中，因为有斜线的存在，两点之间线段最短，只有途径两条斜线的“不回头路线”才是真正最短的。

而标数得到的4231，仅仅是所有的“不回头路线”，并不能保证经过斜线，所以不正确。

错解二：标数+排除

既然上面的错解是因为不能保证走斜线，那我们只要能排除其中所有不走斜线的方法，剩下的不就是答案了吗？

于是就有了下面这一种做法：

原图中标数，有4231种不同方法；去掉所有斜线，余下8×4的长方形网格标数，有495种不同方法，对应着所有不走斜线的方法数。

故答案为4231－495＝3736种。

这个方法又错在哪里呢？

诚然，我们通过做减法，排除了所有不走直线的方法数，但最短路线的要求，必须要经过完整的两条斜线。剩下的3736种方法中，仍包含着大量“只走一条斜线”的方法，而他们依然是不符合题意的。

在排除了这两种常见的错解之后，如果顺着思路继续分析，我们会发现，通过标数的手段几乎没有办法分析出“只经过一条斜线的方法数”，解题走进了死胡同。

所以，想要解决这道题，就要从标数法现象后的本质说起了。

咱们先回到标数法最简单的例题，还是下面这道：

如图所示，沿线段从A走到B，有多少条不同的最短路线？

数已经帮大家标好了，答案是10。

下面的问题是：能不能用除标数与枚举外的其他的方法得到答案10呢？

这里需要我们转换一下看问题的视角。

在使用标数法的时候，我们是作为一个纯粹的旁观者，用数字标记出路线的，这就是所谓的“上帝视角”或者说“第三人称视角”。

那么，如果我们换一个视角，站在当事人的角度去想问题呢？

现在把自己想象成问题中的那个需要从A走到B的路人。作为当事人，我们显然没办法在每个路口标上数字，能够做的只有在走到每个路口的时候思考下面这个问题：我这一步应该往哪个方向走呢？

显然，从A走到B，我们需要向右走3步，向上走2步，总共走5步。

于是问题转变为：向右走3步，向上走2步，有多少种不同的安排顺序？

这个问题学过排列组合的孩子都能轻松回答：这相当于从5步中选出2步向上走，其余步数向左走，即种。

这恰好对应了标数得到的答案。

事实上，任意一种安排顺序，例如右右右上上，或者右上上右右，都对应着唯一的一条最短路线——只要从起点出发，按照指令的顺序控制行人移动就可以了。

事实上，我们可以给出一个更通用的结论：

在一个n×m的长方形网格中，从左下角走到右上角的最短路线数为条。

这就是标数法的现象背后隐藏的本质。

了解了这一点之后，我们回到原题中来。

同样运用当事人视角，把自己想象成行人，考虑斜线的存在，我们从A点走到B点的最短路线，需要向右走6步，向上走2步，沿斜线走2步。

从而最短路线数等价于这10步的排列顺序数。

——这里又会诞生一个新的错解。

错解三：排列数法

问题相当于对6步横走，2步纵走和2步斜走进行排序的方法数，可以看成10步中先选2步斜走，再选2步纵走，剩下的横走，方法数为：种。

这个答案已经很接近正确解答了，但还差一点。它又错在哪里呢？

如果你能注意到，图中的斜线仅仅分布在第2行与第4行，就能解答这一问题了。事实上，由于第一行没有斜线，所以从第一行到第二行只能纵走。而为了保证路线最短，从第二行到第三行只能斜走。于是我们会发现，如果不看水平方向，只看竖直方向移动的4步，其顺序一定是竖-斜-竖-斜固定。

所以，上面的组合数中，第一步就斜走，或者连续两步竖走的方法数，都是无法在地图上走出的。

理解了这一点，我们只需要将上面的解答稍作修改，就可以得到正确答案了。

正确解答：捆绑排列

问题相当于对6步向右，2步向上和2步斜走进行排序。注意到，竖直方向上的位移一定按照竖-斜-竖-斜的顺序，所以可以将其捆绑在一起，看成从10步中选出6步横移，4步竖移。其中，4步竖移的位置确定后，内部顺序固定为竖-斜-竖-斜。故排序方法为种。

这道题考察的知识点，是对标数法的本质认知和运用。由于考察对象是初一的孩子，可以认为，孩子只要在小学阶段学习标数法时，好读书而求甚解，探究过标数法背后的原理，或者经老师讲授过类似的道理，解出这道题的难度便不大。相反，如果只知道标数而不知其所以然，想必这道题就显得相当棘手了。

事实上，在计数这一专题中，还存在着许多非常有意思的结论，都是一些简单现象背后的本质。

很多看似繁琐的分类计数题，往往可以用一个极其简单的算式，一个非常单薄的组合数进行“秒杀”。

举一个最常见的例子，大家都比较熟悉的“杨辉三角”。

杨辉三角是一个从第一层开始，每一层的数等于上一层两个相邻数之和的递推数阵，其样式如下：

除了最常见的递推规律之外，简单计算就能发现其中另外两个性质：

（1）第n行所有数之和恰为2的n-1次方

（2）第n行所有数从左到右恰好对应这n个组合数。

——而这两个计算规律结合递推规律，就能得到下面两个很有意思的公式了。

1、

这个公式是高中赫赫有名的二项式定理在x=y=1时的特殊形式。

不过这里我们依然可以用现象与本质法简单解释并证明。

想象这样一个场景：有n个不同的小球，取出其中的任意个（可以全取也可以不取），有多少种不同的方法？

首先，站在“上帝视角”，我们可以对取出的个数进行分类：从取0个到取n个，显然，所有情况的方法数之和为。

其次，站在“当事人视角”，把我们想象成嗷嗷待取的小球，显然每个小球都只有两种选择：被取，或不被取。那么，根据乘法原理，不同的取法数即为.

所以两者相等，公式得证。

不需要用到任何高中知识。

2、

这是杨辉三角递推性质的一般表示，也是高中组合恒等式的一个特例。

而小学四年级以上的孩子，都可以利用和之前一样的思路简单证明。

等号左边相当于从n+1个不同的小球中，取出m个的方法数。等号右边则是对这个问题的一次分类讨论：

按照第一个球是否被取分类。如果第一个球被取走，相当于还要在余下n个球里取m-1个；如果第一个球不被取走，则相当于在余下的n个球里取m个。

总方法数等于两类之和，公式得证。

所以，在计数中，多想一些为什么，多分析一些现象之后的本质，会对大家计数专题的学习大有帮助。

最后，我在即将出版的《2021年MO年鉴》上刊载了一套小高组模拟题，其中有一道题用到了与这道题较为相似的思考方式，但更为简单，这里提前剧透一下，作为本文阅读结束后的思考作业：

参考阅读：

一道AMC12试题——小学标数法的巧妙运用

这段时间，公众号将会更新一些和近期几个数学活动相关的内容，包括咨询、真题赏析、攻略等等，有需求的家长们可以关注。

希望每个孩子都能取得满意的成绩。